x → 4 x (1 – x)与y → (x + y) mod 1定义的映射，展示了对初始x值的敏感性。其中，两个x、y序列随时间推移，从微小的初值差异发散出去。

通常来说，“混沌”意味着“无序状态”。[46][47]混沌也不存在公认的数学定义，Robert L. Devaney总结出比较常用的定义，指出混沌系统有三种性质：[48]

受初始状态影响的敏感性，初始条件非常微小的变动也可以导致最终状态的巨大差别。

具有拓扑混合性；不严格地来说，就是系统会将初始空间的拓扑性质彻底打乱，使得任何初始状态变换到其他任何位置。

周期轨道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期轨道的值。

在离散时间情形下，对初始条件的敏感性对度量空间上所有的连续映射都正确。[49]敏感性是最具实际意义的特性，不过一般无需在定义中加以说明。

若将注意力放在区间上，那么第二条特性可以推导出另两条特性。[50]混沌的另一个定义一般较弱，只使用前两条属性。[51]

对初始条件的敏感性

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主条目：蝴蝶效应

用于生成y变量曲线图的洛伦兹方程。x与z的初始条件保持不变，但y的初始条件在1.001、1.0001、1.00001之间变化。

ρ

{\displaystyle \rho }

、

σ

{\displaystyle \sigma }

、

β

{\displaystyle \beta }

的值分别为45.92、16、4 。从图中可以看出，即使是最细微的差别，也会在大约12秒后发生显著变化，这就是对初始条件敏感的一个例子。

对初始条件的敏感性意味着，混沌系统中的每对极相近的点，会有大相径庭的轨迹；当前轨迹的任意微小变化都会导致未来行为的显著不同。[52]

这种性质通常称作“蝴蝶效应”，源于爱德华·洛伦兹在美国科学促进会上发表的《可预测性：巴西的蝴蝶扇动翅膀会引发德克萨斯州的龙卷风吗？》（1972）。[53]蝴蝶扇动翅膀代表系统初始条件的微小变化，引发了一连串现象，其出现完全无法预测。倘若蝴蝶没有扇动翅膀，整个系统的轨迹都会大不相同。

正如洛伦兹在《混沌的本质》（1993）中所写：[54]“敏感依赖性可以作为混沌的一个可接受定义。”为说明时变路径对初始位置的敏感性，我们建立了一个理想化的滑雪模型。[54]可预测性水平线可以在SDIC开始之前确定（即在附近初始轨迹出现显著分离之前）。[55]

若从有限的系统资讯开始（实际情况一般如此），则在一定时间后，系统就不再可预测了。这常见于天气预报，一般只能提前一周左右。[56]这不是说不能对遥远未来的事件做出任何断言，只是说系统存在限制。例如，地表温度不会自然达到100 °C（212 °F）或低于−130 °C（−202 °F）（当前地质年代），但并没有方法推知一年中最热的一天会是哪一天。

李亚普诺夫指数衡量了对初始条件的敏感度，其形式是与扰动的指数发散率。[57]给定相空间中两个无限接近的初值，初始分离度

δ

Z

0

{\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}

，两条轨迹最终发散的速度由以下公式给出：

|

δ

Z

(

t

)

|

≈

e

λ

t

|

δ

Z

0

|

,

{\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,}

其中

t

{\displaystyle t}

是时间，

λ

{\displaystyle \lambda }

是李亚普诺夫指数。分离率取决于初始分离矢量的方向，因此可能存在完整的李亚普诺夫指数谱。李亚普诺夫指数的个数等于相空间维数，通常仅指最大的一个：最大李亚普诺夫指数（MLE）最常用，反映系统整体的可预测性。系统MLE若为正，则视作处于混沌状态。[58]

除上述特性外，还有其他相关性质，例如测度论混合性（如遍历理论）及K系统的特性。[59]

非周期性

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混沌系统可能具有完全重复的演化变量值序列，从序列任一点出发都会产生周期性行为。但这种周期序列是排斥性的：若演化变量在序列之外，无论多么接近，都不会进入序列，事实上还会偏离。因此，在几乎所有初始条件下，变量都会以非周期性方式混沌演化。

拓扑混合

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一组状态

[

x

,

y

]

{\displaystyle [x,y]}

通过逻辑斯蒂映射的6次迭代。第一次（蓝）为初始条件，基本上形成了一个圆。动画显示了圆形为初态的1~6次迭代，可以发现会出现混合现象。第6次迭代中，点几乎完全分散在相空间中。若进一步迭代，混合将是均匀、不可逆的逻辑斯蒂映射方程为

x

k

+

1

=

4

x

k

(

1

−

x

k

)

{\displaystyle x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})}

。将其状态空间推广到2维，要创建第二个状态

y

{\displaystyle y}

：

y

k

+

1

=

x

k

+

y

k

{\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}}

，即

x

k

+

y

k

<

1

{\displaystyle x_{k}+y_{k}<1}

，否则

y

k

+

1

=

x

k

+

y

k

−

1

{\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1}

。

x → 4 x (1 – x)与y → (x + y) mod 1定义的映射，也展现出拓扑混合。蓝色在动力作用下首先变为紫色，然后到粉色与红色，最终变为一团散布在空间中的垂直线。

拓扑混合（或较弱的拓扑传递）是指系统相空间的任意给定区域或开集，随时间推移都将与任意给定区域重叠。这种“混合”的概念与标准直觉相对，染料或液体的混合就是一种混沌系统。

混沌的流行说法往往忽略了拓扑混合，认为混沌只等同于对初态的敏感性；但这并不会导致混沌。例如，考虑只会将初值反复加倍的动力系统。它对各处的初值都敏感，因为任意一对邻近的点都会变得相距甚远；但由于没有混合，所以没有混沌。其实它的行为极其简单：除了0之外，所有点都趋于无穷大。

拓扑传递

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若对任意一对非空开集

U

,

V

⊂

X

{\displaystyle U,V\subset X}

，都

∃

k

>

0

{\displaystyle \exists k>0}

使

f

k

(

U

)

∩

V

≠

∅

{\displaystyle f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset }

，则称映射

f

:

X

→

X

{\displaystyle f:X\to X}

具有拓扑传递性。这弱于拓扑混合。直观地说，给定点x与V，则在x附近存在点y，其在拓扑传递映射中的轨道穿过V。这说明，不可能将系统分解为两个开集。[60]

不难看出，稠密轨道意味着拓扑传递性。伯克霍夫传递性定理指出，若X是第二可数完备空间，则拓扑传递性意味着X中存在具有稠密轨道的稠密点集。[61]

稠密周期轨道

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具有稠密周期轨道的混沌系统意味着空间中的点都任意接近周期轨道。[60]由x → 4 x (1 – x)定义的1维逻辑斯蒂映射是具有稠密周期轨道的最简单系统之一。例如，

5

−

5

8

{\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}

→

5

+

5

8

{\displaystyle {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}

→

5

−

5

8

{\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}

（或约0.3454915 → 0.9045085 → 0.3454915）是周期为2的（不稳定）轨道，而周期为4、8、16等（实际上是沙尔科夫斯基定理指定的所有周期）也存在类似轨道。[62]

沙尔科夫斯基定理是Li & Yorke[63] (1975)的基础，其证明了任何连续1维系统若表现出周期为3的规则周期，也会表现出其他长度的规则周期以及完全混乱的轨道。

奇异吸引子

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洛伦兹吸引子显示出混沌行为。这两幅图显示了吸引子所占据的相空间区域内初始条件的敏感性。

x → 4 x (1 – x)定义的1维逻辑斯蒂映射之类的动力系统在任何地方都是混沌的，但很多时候混沌仅见于相空间的子集。混沌发生在吸引子上时，大量初始条件都将使轨道向混沌区域收敛。[64]

直观显示混沌吸引子的简单方法，是从吸引盆地的某点开始，绘制之后的轨道。由于拓扑传递，很可能产生整个最终吸引子的图像。右图由简单的洛伦兹天气系统3维模型产生，都显示了洛伦兹吸引子的大致形状，可能是最著名的混沌系统图示之一，因为它不仅早，也是最复杂的混沌系统图之一，产生了非常有趣的模式。只要稍加想象，就能看到像蝴蝶翅膀一样的图案。

不同于定点吸引子与极限环，混沌系统产生的奇异吸引子具有很强的细节性与复杂性。它出现在连续动力系统（如洛伦兹系统）和一些离散系统（如厄农映射）。其他离散动力系统有一种称为朱利亚集的排斥结构，形成于定点吸引盆地之间的边界，可视为奇异吸引子。奇异吸引子具有分形结构，可以计算分形维度。

共存吸引子

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广义洛伦兹模型中的共存吸引子与非混沌吸引子。[65][66][67]从0.625至5之间的无量纲时间和加热参数r = 680的不同初始条件开始，共有128条不同颜色的轨道。混沌轨道附近会反复回到原点的鞍点附近。非混沌轨道最终接近两个稳定点之一，如蓝色大点所示。混沌与非混沌轨道在相空间中占据不同的吸引区。

最近对洛伦兹模型[68][69]的研究强调了多类解的重要性：相同的建模配置与不同的初始条件下，同一模型（如双摆系统）可能会出现混沌与非混沌共存的现象。经典与广义洛伦兹模型得到的吸引子共存结论[65][66][67]反映“整个天气系统具有混沌和有序的双重性质，具有明显的可预测性”，这与传统的“混沌天气”观点截然不同。

混沌系统的最小复杂度

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逻辑斯蒂映射x → r x (1 – x)的分岔图。垂直切片对应r值的吸引子。随着r增加，周期加倍，最终产生混沌。越暗的点被访问的频率越高。

逻辑斯蒂映射之类的离散混沌系统，无论维度如何，都会表现出奇异吸引子。具有抛物线最大值和费根鲍姆常数

δ

=

4.669201...

{\displaystyle \delta =4.669201...}

,

α

=

2.502907...

{\displaystyle \alpha =2.502907...}

[70][30]的1维映射的普遍性在作为离散镭射动力模型提出的Tahn映射上清晰可见：

x

→

G

x

(

1

−

t

a

n

h

(

x

)

)

{\displaystyle x\rightarrow Gx(1-\mathrm {tanh} (x))}

,

其中

x

{\displaystyle x}

表示电场振幅，

G

{\displaystyle G}

[71]为镭射增益分岔参数，在区间

[

0

,

∞

)

{\displaystyle [0,\infty )}

内的逐渐增大会使动力从规则变为混沌，[72]分岔图与逻辑斯蒂映射的分岔图具有相同性质。

而连续动力系统，庞加莱-本迪克松定理表明只有在3维及更高维才会出现奇异吸引子。有限维线性系统永远不会出现混沌，非线性或无限维系统才可能出现混沌。

庞加莱-本迪克松定理指出，二维微分方程具有非常规则的行为。下面讨论的洛伦兹吸引子由以下3个微分方程的系统产生：

d

x

d

t

=

σ

y

−

σ

x

,

d

y

d

t

=

ρ

x

−

x

z

−

y

,

d

z

d

t

=

x

y

−

β

z

.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}

其中

x

{\displaystyle x}

、

y

{\displaystyle y}

、

z

{\displaystyle z}

构成系统状态，

t

{\displaystyle t}

是时间，

σ

{\displaystyle \sigma }

、

ρ

{\displaystyle \rho }

、

β

{\displaystyle \beta }

是系统参数。右侧5个项是线性的，2个是二次项，共有7项。另一个著名的混沌吸引子由若斯叻方程产生，7个项中只有1个非线性项。Sprott[73]发现了一个只有5项的3维系统，只有1个非线性项，在某些参数值下表现出混沌。Zhang & Heidel[74][75]证明，对耗散与保守型的二次系统来说，右边只有3、4项的3维二次系统不会表现出混沌行为。原因很简单：此类系统的解是二维曲面的渐近，因此解表现良好。

庞加莱-本迪克松定理指出，欧氏平面上的连续动力系统不会是混沌的，非欧几何的2维连续动力系统则有可能。[76][自述来源]不过，只要是无限维线性系统，也可能出现混沌。[77]数学分析的一个分支——泛函分析正在发展线性混沌理论。

上面优雅的三个常微分方程被称为3维洛伦兹模型。[78]1963年以来，许多研究[79][80][65][66]开发了更高维的洛伦兹模型，用于研究非线性程度的增加及其与加热、耗散的共同作用对去稳定的影响。

无限维映射

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耦合离散映射的直接推广[81]基于卷积积分，其介导了空间分布映射之间的相互作用：

ψ

n

+

1

(

r

→

,

t

)

=

∫

K

(

r

→

−

r

→

,

,

t

)

f

[

ψ

n

(

r

→

,

,

t

)

]

d

r

→

,

{\displaystyle \psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}}

,

其中的核

K

(

r

→

−

r

→

,

,

t

)

{\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)}

是作为相关物理系统的格林函数导出的传播器，[82]

f

[

ψ

n

(

r

→

,

t

)

]

{\displaystyle f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]}

可能是类似

ψ

→

G

ψ

[

1

−

tanh

⁡

(

ψ

)

]

{\displaystyle \psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]}

的逻辑斯蒂映射或复映射。复映射的例子是朱利亚集

f

[

ψ

]

=

ψ

2

{\displaystyle f[\psi ]=\psi ^{2}}

或池田映射

ψ

n

+

1

=

A

+

B

ψ

n

e

i

(

|

ψ

n

|

2

+

C

)

{\displaystyle \psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}}

。考虑波长为

λ

=

2

π

/

k

{\displaystyle \lambda =2\pi /k}

、距离为

L

=

c

t

{\displaystyle L=ct}

的波传播问题时，核

K

{\displaystyle K}

可能具有薛定谔方程的格林函数形式：[83][84]

K

(

r

→

−

r

→

,

,

L

)

=

i

k

exp

⁡

[

i

k

L

]

2

π

L

exp

⁡

[

i

k

|

r

→

−

r

→

,

|

2

2

L

]

{\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]}

.

急动系统

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急动度是位置向量相对于时间的三阶导，因此微分方程的形式为

J

(

x

.

.

.

,

x

¨

,

x

˙

,

x

)

=

0

{\displaystyle J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0}

有时也被称为急动方程。研究表明，急动方程等价于3个1阶普通非线性微分方程组，从某种意义上说是能产生混沌解的最小设置，激发了学界对急动系统的兴趣。涉及4阶及以上导数的系统相应地被称为超急动系统。[85]

急动系统的行为由急动方程决定，对部分急动方程，简单的电子电路就能模拟解，称作急动电路，其可能出现混沌行为。

洛伦兹吸引子和若斯叻吸引子等著名混沌系统，传统上即描述为由3个1阶微分方程组成的系统，可以组合成单一的（相当复杂）急动方程。急动方程的另一个例子是：

d

3

x

d

t

3

+

A

d

2

x

d

t

2

+

d

x

d

t

−

|

x

|

+

1

=

0.

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}+A{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-|x|+1=0.}

其中A是可调参数。此方程在A=3/5时有一个混沌解，可用下面的急动电路实现；所需的非线性由2个二极管产生：

电路中，除

R

A

=

R

/

A

=

5

R

/

3

{\displaystyle R_{A}=R/A=5R/3}

外，所有电阻、电容的大小都相等。主频为

1

/

2

π

R

C

{\displaystyle 1/2\pi RC}

；运算放大器 0的输出对应x变量，1的输出对应x的一阶导，2的输出对应二阶导。

类似电路只需要一个二极管[86]或根本不需要二极管。[87]

也可见蔡氏电路，是混沌真随机数发生器的基础之一。[88]