莱布尼茨公式（Leibniz’s rule）

莱布尼茨公式（Leibniz’s rule）是用于求解两个函数乘积的高阶导数的公式。它类似于二项式定理，适用于求解两个函数 u(x)u(x)u(x) 和 v(x)v(x)v(x) 的乘积 u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 的 nnn 阶导数。

莱布尼茨公式的形式如下：

(uv)(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)}

(uv)(n)=k=0∑n​Cnk​u(n−k)v(k)

其中：

(uv)(n)(uv)^{(n)}(uv)(n) 表示 u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 的 nnn 阶导数。CnkC_n^kCnk​ 是二项式系数，表示从 nnn 个元素中选取 kkk 个元素的组合数。u(n−k)u^{(n-k)}u(n−k) 表示 u(x)u(x)u(x) 的 (n−k)(n-k)(n−k) 阶导数。v(k)v^{(k)}v(k) 表示 v(x)v(x)v(x) 的 kkk 阶导数。

具体步骤

确定函数 u(x)u(x)u(x) 和 v(x)v(x)v(x)：首先确定你要计算的两个函数 u(x)u(x)u(x) 和 v(x)v(x)v(x)。

计算各阶导数：计算 u(x)u(x)u(x) 和 v(x)v(x)v(x) 的各阶导数，直到 nnn 阶。

应用莱布尼茨公式：将 u(x)u(x)u(x) 和 v(x)v(x)v(x) 的各阶导数代入莱布尼茨公式，计算每一项的值。

求和：将所有项相加，得到 u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 的 nnn 阶导数。

示例

假设我们要计算 (x2sin⁡x)(3)(x^2 \sin x)^{(3)}(x2sinx)(3)，即 x2sin⁡xx^2 \sin xx2sinx 的 3 阶导数。

确定函数：

u(x)=x2,v(x)=sin⁡x

u(x) = x^2, \quad v(x) = \sin x

u(x)=x2,v(x)=sinx

计算各阶导数：

u(x)=x2⇒u′(x)=2x,u′′(x)=2,u′′′(x)=0

u(x) = x^2 \quad \Rightarrow \quad u'(x) = 2x, \quad u''(x) = 2, \quad u'''(x) = 0

u(x)=x2⇒u′(x)=2x,u′′(x)=2,u′′′(x)=0

v(x)=sin⁡x⇒v′(x)=cos⁡x,v′′(x)=−sin⁡x,v′′′(x)=−cos⁡x

v(x) = \sin x \quad \Rightarrow \quad v'(x) = \cos x, \quad v''(x) = -\sin x, \quad v'''(x) = -\cos x

v(x)=sinx⇒v′(x)=cosx,v′′(x)=−sinx,v′′′(x)=−cosx

应用莱布尼茨公式：

(x2sin⁡x)(3)=∑k=03Cn3u(3−k)v(k)

(x^2 \sin x)^{(3)} = \sum_{k=0}^{3} C_n^3 u^{(3-k)} v^{(k)}

(x2sinx)(3)=k=0∑3​Cn3​u(3−k)v(k)

计算每一项：

k=0:C30u(3)v(0)=1⋅0⋅sin⁡x=0

k = 0: \quad C_3^0 u^{(3)} v^{(0)} = 1 \cdot 0 \cdot \sin x = 0

k=0:C30​u(3)v(0)=1⋅0⋅sinx=0

k=1:C31u(2)v(1)=3⋅2⋅cos⁡x=6cos⁡x

k = 1: \quad C_3^1 u^{(2)} v^{(1)} = 3 \cdot 2 \cdot \cos x = 6 \cos x

k=1:C31​u(2)v(1)=3⋅2⋅cosx=6cosx

k=2:C32u(1)v(2)=3⋅2x⋅(−sin⁡x)=−6xsin⁡x

k = 2: \quad C_3^2 u^{(1)} v^{(2)} = 3 \cdot 2x \cdot (-\sin x) = -6x \sin x

k=2:C32​u(1)v(2)=3⋅2x⋅(−sinx)=−6xsinx

k=3:C33u(0)v(3)=1⋅x2⋅(−cos⁡x)=−x2cos⁡x

k = 3: \quad C_3^3 u^{(0)} v^{(3)} = 1 \cdot x^2 \cdot (-\cos x) = -x^2 \cos x

k=3:C33​u(0)v(3)=1⋅x2⋅(−cosx)=−x2cosx

求和：

(x2sin⁡x)(3)=0+6cos⁡x−6xsin⁡x−x2cos⁡x=6cos⁡x−6xsin⁡x−x2cos⁡x

(x^2 \sin x)^{(3)} = 0 + 6 \cos x - 6x \sin x - x^2 \cos x = 6 \cos x - 6x \sin x - x^2 \cos x

(x2sinx)(3)=0+6cosx−6xsinx−x2cosx=6cosx−6xsinx−x2cosx

因此，x2sin⁡xx^2 \sin xx2sinx 的 3 阶导数为：

(x2sin⁡x)(3)=6cos⁡x−6xsin⁡x−x2cos⁡x

(x^2 \sin x)^{(3)} = 6 \cos x - 6x \sin x - x^2 \cos x

(x2sinx)(3)=6cosx−6xsinx−x2cosx

二项式系数的计算方法

直接公式法

二项式系数 CnkC_n^kCnk​ 可以通过以下公式直接计算：

Cnk=n!k!(n−k)!

C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Cnk​=k!(n−k)!n!​

其中：

n!n!n! 表示 nnn 的阶乘，即 n×(n−1)×(n−2)×⋯×1n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1n×(n−1)×(n−2)×⋯×1。k!k!k! 表示 kkk 的阶乘。(n−k)!(n-k)!(n−k)! 表示 (n−k)(n-k)(n−k) 的阶乘。

示例

计算 C52C_5^2C52​：

C52=5!2!(5−2)!=5!2!⋅3!=5×4×3×2×1(2×1)×(3×2×1)=1202×6=12012=10

C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10

C52​=2!(5−2)!5!​=2!⋅3!5!​=(2×1)×(3×2×1)5×4×3×2×1​=2×6120​=12120​=10

递推公式法

二项式系数 CnkC_n^kCnk​ 也可以通过递推公式计算：

Cnk=Cn−1k−1+Cn−1k

C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}

Cnk​=Cn−1k−1​+Cn−1k​

其中：

Cn0=1C_n^0 = 1Cn0​=1 和 Cnn=1C_n^n = 1Cnn​=1 是初始条件。

示例

计算 C52C_5^2C52​ 使用递推公式：

初始条件：

C50=1,C55=1

C_5^0 = 1, \quad C_5^5 = 1

C50​=1,C55​=1

递推计算：

C51=C40+C41=1+4=5

C_5^1 = C_4^0 + C_4^1 = 1 + 4 = 5

C51​=C40​+C41​=1+4=5

C52=C41+C42=4+6=10

C_5^2 = C_4^1 + C_4^2 = 4 + 6 = 10

C52​=C41​+C42​=4+6=10

帕斯卡三角形法

帕斯卡三角形（Pascal’s Triangle）也可以用来展示 CnkC_n^kCnk​。每一行的元素是上一行相邻元素的和。

示例

构建帕斯卡三角形的前几行：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

在第 nnn 行（从 0 开始计数）的第 kkk 个元素（从 0 开始计数）就是 CnkC_n^kCnk​。例如，C52C_5^2C52​ 对应第 5 行的第 2 个元素，即 10。

组合性质法

二项式系数 CnkC_n^kCnk​ 有一些组合性质，可以简化计算：

对称性：Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n-k}Cnk​=Cnn−k​吸收恒等式：Cnk=nkCn−1k−1C_n^k = \frac{n}{k} C_{n-1}^{k-1}Cnk​=kn​Cn−1k−1​加法恒等式：Cnk=Cn−1k+Cn−1k−1C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}Cnk​=Cn−1k​+Cn−1k−1​

示例

利用对称性计算 C53C_5^3C53​：

C53=C52=10

C_5^3 = C_5^2 = 10

C53​=C52​=10